Modèle Relationnel (10 points)

1 Modèle Relationnel (10 points)

On considère les deux tables :

R	A	B
	a	b
	b	d
	a	e

S	B	C
	e	a
	e	d
	b	d

1.1 Algèbre et Calcul Relationnel (8 Points)

On appelle jointure naturelle, l'opération qui s'exprime par l'expression de l'algèbre relationnelle suivante :

R join S = pi_A,B,C(sigma_B=B'(R × rho

B-> B'
(S)))
On appelle semi-jointure, l'opération qui s'exprime par l'expression de l'algèbre relationnelle suivante :
R |>to -.45em< S = pi_A,B(R join S)
On connaît les règles de réécriture suivantes :
- pi_X(pi_Y(R)) = pi_X(R) si Xinclus dans ou égal à Y
- pi_X(R × S) = pi_{X inter}_R(R) × pi_{X
  inter}_S(S) où R et S sont les attributs de R et S.
- pi_X(sigma_A=B(R)) = sigma_A=B(pi_X(R)) si A appartient à X et B appartient à X.
Montrer rigoureusement par réécriture des expressions algébriques que la semi-jointure peut également être calculée par l'expression suivante : (2 points)
R |>to -.45em< S = R join pi_B(S)
Exprimer la jointure naturelle entre R et S dans le calcul relationnel? (2 points)
Calculer :
1. R join S (1 point)
2. R U rho_{B -> A,C -> B}(S) (1 point)
3. R - rho_{B -> A,C -> B}(S) (1 point)
4. pi_A(R) - pi_A((pi_A(R) × pi_B(S))-R) (1 point)

1.2 Axiomes d'Armstrong (2 Points)

Montrer que l'union (1 point) et la pseudo-transitivité (1 point) peuvent s'exprimer en fonction de la réflexivité, de l'augmentation et de la transitivité.